Il rapporto aureo è una proporzione che è stata considerata la più perfetta e armoniosa fin dai tempi antichi. Costituisce la base di molte strutture antiche, dalle statue ai templi, ed è molto comune in natura. Allo stesso tempo, questa proporzione si esprime in costruzioni matematiche sorprendentemente eleganti.
Istruzioni
Passo 1
La proporzione aurea è definita come segue: è tale divisione di un segmento in due parti che la parte più piccola si riferisce a quella più grande allo stesso modo in cui la parte più grande si riferisce all'intero segmento.
Passo 2
Se la lunghezza dell'intero segmento è presa come 1 e la lunghezza della parte maggiore è presa come x, allora la proporzione cercata sarà espressa dall'equazione:
(1 - x) / x = x / 1.
Moltiplicando entrambi i lati della proporzione per x e trasferendo i termini, otteniamo l'equazione quadratica:
x^2 + x - 1 = 0.
Passaggio 3
L'equazione ha due radici reali, di cui naturalmente ci interessa solo il positivo. È uguale a (√5 - 1) / 2, che è approssimativamente uguale a 0, 618. Questo numero esprime il rapporto aureo. In matematica, è più spesso indicato con la lettera.
Passaggio 4
Il numero ha una serie di notevoli proprietà matematiche. Ad esempio, anche dall'equazione originale si vede che 1 / φ = φ + 1. Infatti, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Passaggio 5
Un altro modo per calcolare il rapporto aureo è usare una frazione infinita. Partendo da qualsiasi x arbitrario, puoi costruire in sequenza una frazione:
X
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
eccetera.
Passaggio 6
Per facilitare i calcoli, questa frazione può essere rappresentata come una procedura iterativa, in cui per calcolare il passaggio successivo, è necessario aggiungere uno al risultato del passaggio precedente e dividere uno per il numero risultante. In altre parole:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Questo processo converge e il suo limite è φ + 1.
Passaggio 7
Se sostituiamo il calcolo del reciproco con l'estrazione della radice quadrata, cioè eseguiamo un ciclo iterativo:
x0 = x
x (n + 1) = (xn + 1), quindi il risultato rimarrà invariato: indipendentemente dalla x scelta inizialmente, le iterazioni convergono al valore φ + 1.
Passaggio 8
Geometricamente, il rapporto aureo può essere costruito utilizzando un pentagono regolare. Se disegniamo due diagonali che si intersecano, ognuna di esse dividerà l'altra rigorosamente nel rapporto aureo. Questa osservazione, secondo la leggenda, appartiene a Pitagora, che fu così scioccato dal modello trovato che considerò la stella a cinque punte corretta (pentagramma) come un sacro simbolo divino.
Passaggio 9
I motivi per cui è il rapporto aureo che sembra a una persona il più armonioso sono sconosciuti. Tuttavia, gli esperimenti hanno ripetutamente confermato che i soggetti a cui è stato chiesto di dividere il segmento in due parti disuguali lo fanno in modo più bello in proporzioni molto vicine al rapporto aureo.
